Número 7: Cortar ou Não?

Pôxa, tenho aprendido tantas coisas e obtido muitas informações sobre assuntos variados que interessam a todos os emergentes desse nosso lindo planeta (e por isso me interessam também), mas não tive tempo de parar aqui para compartilhar. E agora, como aconteceu da última vez, deu-me uma vontade repentina de escrever, após conversar com um amigo numa rede social. Percebo que, assim como ele, muitas pessoas tem dúvida sobre qual é a grafia correta do número 7 (sete).

É bom lembrar que o nosso sistema de numeração é originário do sistema indo-arábico.  Já viu antes um texto escrito em árabe? A forma manuscrita, esquisita para os povos ocidentais, traz indícios de uma escrita rápida, como a escrita das taquigrafas atuais. Nos livros produzidos pelos sábios árabes de onde os ocidentais da Idade Média copiaram os algarismos que usamos até hoje, os algarismos eram manuscritos, e as "letras" dos escribas, hindus ou árabes, eram muito diferentes entre si, tal como são nossas assinaturas.

No quadro abaixo pode-se perceber a evolução da forma dos algarismos hindu-arabicos. A forma dos algarismos só se estabilizou com a invenção da imprensa por Gutemberg no fim do séc. XV.

O traço do sete é um recurso utilizado nas escolas para que os alunos das séries iniciais diferenciem sua forma, da escrita do número 1. O mesmo recurso tem sido utilizado em atividades relacionadas à informática, para orientar os digitadores na diferenciação do "zero" em relação à letra "O". O zero é colocando-se um traço interno na diagonal.

Uma lenda muito divertida é contada no blog Matemágicas e Números. Leiam! que vocês vão rir muito, assim como eu!

A Arte de compor Poliedros

Interface com a Matemática: "A arte de compor Poliedros"

"O estudo dos poliedros é uma das áreas especiais da Matemática, que permite o amador e o experiente trabalharem em nível de qualidade."    Tom O. Gueltys

Estrelas de M. C. Escher

Caros Alunos,

Neste trabalho vamos abordar assuntos sobre a geometria, relacionando-a com a arte. Não podíamos deixar de o fazer pois desde sempre estiveram ambos em contato permanente.

Desde o Neolítico até os nossos dias, passando pelo Renascimento, podemos observar a presença de motivos geométricos em obras de arte, como exemplo disso diversos artistas renascentistas utilizaram a geometria na sua arte, desde Vitrúvio a mais recentemente em quadros de grandes artistas, sendo M. C. Escher um dos melhores exemplos senão mesmo o melhor, como poderão verificar adiante.

Os Sólidos Platônicos

Os cinco poliedros regulares - tetraedro, cubo ou hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro - passaram a ficar conhecidos na história como sólidos platônicos em virtude de um famoso texto de Platão incluído no diálogo Timeu.

Um poliedro é regular quando todas as faces são polígonos regulares congruentes, todas as arestas são congruentes e todos os vértices são congruentes. Isto significa que existe uma simetria do poliedro que transforma cada face, cada aresta e cada vértice numa outra face, aresta ou vértice. Heath sugere que os pitagóricos conheciam todos os sólidos platônicos e que construíam o tetraedro, o cubo, o octaedro e icosaedro utilizando a construção em triângulos descrita por Platão, enquanto para o dodecaedro se baseavam na construção do pentágono que mais tarde ficou registada nos Elementos (Eucl. IV, 10, 11). De resto, os pitagóricos utilizavam como seu símbolo distintivo o pentagrama, que se obtém a partir do pentágono traçando as respectivas diagonais.

Teeteto (c. 417 - c 369 a.C.), um dos matemáticos gregos mais importantes da época de Platão, ensinou na Academia fundada por este em Atenas em 385 a.C. e parece dever-se a ele um estudo teórico dos cinco poliedros regulares, em particular do octaedro e do icosaedro. Segundo Heath, estudou as relações entre os cinco poliedros e também as superfícies esféricas circunscritas.

Os nove poliedros regulares 

Que significa a palavra regular quando aplicada a um polígono? Que os lados e os ângulos entre lados consecutivos são todos congruentes. .......

A Fórmula de Euler: V+F-A=2

A controvérsia sobre a fórmula de Euler e as sucessivas demonstrações e refutações da sua validade constitui por si só uma "história da geometria fascinante". ......

A Arte e os Poliedros

Durante toda a nossa história, os poliedros tem estado estritamente associados com o mundo da arte. O pico desta relação foi certamente no Renascimento. Para alguns artistas renascentistas os poliedros simplesmente forneciam-lhe modelos que os desafiavam a demonstrar o seu conhecimento sobre a perspectiva. Para outros, os poliedros eram símbolos de uma profunda verdade filosófica e religiosa. Por exemplo, a associação de Platão no "TIMAEUS", entre os sólidos platônicos e os elementos, fogo, terra, ar, água (e o universo) foram muito importantes no Renascimento. Este estava em termo de igualdade com a necessidade da geometria para a perspectiva, e surgiu uma fundação matemática para artistas racionalistas compreenderem os seus simbolos, apenas a ciência renascimenta explorou fundações matemáticas e visuais para compreender o mundo físico, astronomia, anatomia.

Para outros artistas, os poliedros simplesmente transmitiam inspiração e um armazém de formas com diversas simetrias que estes podiam desenhar e representar nas suas obras. Isto verifica-se especialmente no séc. XX, onde existe uma liberdade de materiais e os antigos conceitos das regras de representação da escultura, que já praticamente são inexistentes.

Diversos artistas, desde Vitrúvio até Escher, expressam a sua arte através da geometria, sendo M.C. Escher o melhor exemplo.

SUGESTÃO DE TRABALHO:

Construir caixas de presente em forma de poliedro. Use a imaginação e seja criativo!!!!!!

Esta atividade tem como objetivo desenvolver a prática de utilizar materiais de medição e desenho, a criatividade e o conhecimento dos poliedros e seus elementos.

Sugestão de alguns modelos:

Final da Maratona de Matemática - 2009

Finalizamos a Maratona de Matemática! Veja a PONTUAÇÃO DAS EQUIPES:

Carpie Dien/Laranja = 8,5

Anônimos/Preta = 7,5

Só dá Nerd/Vermelha = 5,5

Ai meu Deus!/Amarela = 5

Os Galáticos/Rosa = 5

Papai fugiu?/Verde = 4,5

Logan/Lilás = 3

Los Hermanos/Azul = 2

Sem Futuro/Bege = 2

Xurupita/Branca = 1,5

Portanto, a equipe Carpie Dien, cor Laranja, composta pelos alunos Cecília, Sílvia e Felipe, foi a vencedora!

Estão todos de parabéns, principalmente pelo desempenho e comportamento durante a realização da Maratona. Continuem estudando mais para os próximos desafios!

Após a realização da Maratona foi feita a Avaliação pelos Alunos...

O que você achou da Maratona de Matemática?

Sthefane: “Maravilhosa, pois aprendi muito, e seria uma boa se todos os professores adotassem esse método.”

Geise Chaves: “Muito boa, pois fez com que estudássemos mais para podermos nos sair bem nas pontuações.”

Cecília: “Tudo maravilhoso.”

Rayanne: “Eu achei mara! Tudo de bom.

Accioli: “Muito BOM! Unindo o útil ao agradável, um jogo divertido, onde você aprende e ganha pontos brincando.”

Meg Guedes: “Achei muito boa! Assim aprendemos brincando, e ganhando pontos, é claro!”

Victor Mcklaus: “Achei muito boa! Assim aprendemos brincando, e ganhando pontos, é claro!”

Tarcila Gabriela: “Achei muito boa! Assim aprendemos brincando, e ganhando pontos, é claro!”

Willian Haraí: “A atividade serviu de bastante aprendizagem, com esse método foi possível esclarecer melhor o assunto com ajuda dos colegas, pena que não estudei o bastante para alcançar o nível pedido (não estudei nada!) mas deu para tirar uma boa nota (da próxima estudo mais).”

Bruna Leão: “Foi muito bom, pois assim conseguimos aprender de uma forma muito diferente com a qual estamos acostumados e isso faz com que nossos estímulos pelos estudos fossem novamente ativados e buscássemos o interesse pelo estudo e passássemos a observar uma nova forma de aprender, uma forma mais legal e divertida e conseguirmos nos preparar para um futuro próximo bem melhor.”

Luam Cabral: “Eu gostei muito da maratona. Pois aprendemos a se interessar muito mais sobre o assunto e sobre a matéria de matemática. Com a maratona aprendemos mais pelo fato do interesse crescer. A maratona é um ótimo método de estudo. Pois tira os mesmos métodos de aula, modificando o nosso dia-a-dia, juntando a aprendizagem com o espírito competitivo, tornando alegre e distraída a classe. E o mais importante de tudo aprendemos, e nos preparamos para nosso futuro de maneira legal.”

II Maratona de Matemática

Segundo Delannoy (1997), há certas pessoas que tem prazer em aprender por aprender, gostam de dominar dificuldades, superar obstáculos e pouco lhes importa o resultado, somente lhes interessa o processo. Com alunos desse tipo, o professor pode limitar-se a propor desafios intelectuais e problemas, sem insistir demais nos aspectos utilitários.

A maioria das pessoas interessa-se, em alguns momentos, pelo jogo da aprendizagem, se lhes oferecessem situações abertas, estimulantes, interessantes. Há maneiras mais lúdicas do que outras de propor a mesma tarefa cognitiva. Não é necessário que o trabalho pareça uma via crucis; pode-se aprender rindo, brincando, tendo prazer.

Portanto, ensinar é “reforçar a decisão de aprender” e também “estimular o desejo de saber” e cabe ao professor fazer com que se construa ou se consolide essa representação, utilizando novas metodologias e recursos de ensino-aprendizagem (Perrenoud, 2000).

E é por isso que, diante da falta de motivação e das diferentes formas de aprender dos alunos do 1º. ano do Ensino Médio da Escola Guedes Educandário, é que pretendo desenvolver, como professora dessa turma, a Maratona de Matemática, como recurso estratégico para a aprendizagem dos conteúdos e envolvimento na disciplina. O evento acontecerá no dia 02/09/2009, no turno matutino, onde serão apresentadas aos alunos situações-problema envolvendo os seguintes conteúdos: Trigonometria no Triângulo Retângulo (Semelhança de Triângulos, Teorema de Pitágoras, Outras Relações Métricas e Razões Trigonométricas) e Unidades de Medidas de Arcos e Ângulos (Arco da Circunferência, Ângulo Central, Comprimento da Circunferência, Medidas de Arcos e ângulos, Conversão entre Unidades de Graus e Radianos).

Leia aqui o Regulamento, a Ficha de Inscrição das Equipes e a Ficha de Avaliação.

“Quando a escola promove uma condição de aprendizado em que há entusiasmo nos fazeres e paixão nos desafios, está construindo a cidadania em sua prática.”

Aprendizagem de Matemática em Ambiente Computacional

No dia 23/05/2009 foi iniciado o projeto de pesquisa PERSAC, pelo Grupo de Pesquisa em Ensino e Aprendizagem da Matemática (GPEMAC) da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), onde alguns professores da rede pública estadual foram selecionados, inclusive eu. Iniciamos as atividades da 1ª. etapa dividida em quatro sessões com aprendizagem do software livre Scilab. Este foi criado por um grupo de pesquisadores franceses do INRIA e do ENPC. Com ele é possível realizar operações com números reais e complexos e permite trabalhar com polinômios e sistemas lineares. O software possui diversas funções com manipulação de vetores e matrizes, além de ser um ambiente para gerar gráficos em 2D e 3D.

Após o recesso das aulas nas escolas públicas estaduais, foi iniciada a 2ª. etapa com extensão às escolas onde os professores participantes do projeto trabalhavam. No dia 28/08/09 começamos a aplicar as atividades no Colégio Estadual Luís Eduardo Magalhães (C.E.L.E.M.), onde escolhi a turma do 3º. ano do Ensino Médio, turma 1, do turno vespertino, com 30 alunos que aderiram ao projeto.

O Laboratório de Informática do C.E.L.E.M. possui recentemente 10 computadores funcionando, então distribuí 3 alunos para cada computador e escolhi o conteúdo de Matrizes para aplicar as atividades. Os alunos demonstraram prazer em utilizar uma ferramenta nova para o aprendizado da Matemática e aprenderam com facilidade a utilizar os comandos do programa e superar algumas dificuldades com o uso da nova tecnologia. Hérica, que é aluna/bolsista do GPEMAC/UESC, aplicou as atividades e a professora Flaviana (da UESC) e eu acompanhamos e ajudamos na orientação dos alunos.

Na oportunidade, aproveitei para gravar uma parte da 1ª. sessão do projeto...

Educação Matemática e Informática

A escola precisa trabalhar com a curiosidade do aluno, partindo de situações-problema que são existenciais para os seus alunos. A Educação Matemática tem buscado um ensino contextualizado na vida do aluno e da sua comunidade. Então, as tecnologias informáticas, pensadas como tecnologia da linguagem e da comunicação, no uso da Matemática, devem trabalhar a “possibilidade de o sujeito ler o mundo”, “compartilhar da sua leitura do mundo”, “aprender a aprender” e a possibilidade de “reconhecer sujeitos livres” (Paulo Freire).

D’Ambrósio afirma que, na transição do século XX para o século XXI, espera-se que os alunos adquiram e utilizem instrumentos comunicativos, analíticos e materiais para exercer o seu papel de cidadão.

É necessário compartilhar idéias, pensamentos, ser compreendido. Assim, é preciso que exista comunicação entre os elementos, é preciso compartilhar tecnologias, até mesmo as do pensamento. Esta tecnologia começa no próprio controle do corpo, passando pelas tecnologias/máquinas e indo até as tecnologias da linguagem e da comunicação.

É importante para o aluno conhecer os elementos da máquina – hardware e software – e conhecer um pouco mais as linguagens ou ferramentas computacionais ou aplicativos. É preciso estimulá-los a lerem as telas de ajuda do programa e as mensagens de erro, fazendo com que o aluno aprenda a aprender.

Assim, o objetivo da aula de Matemática que utiliza a informática não deve estar centrado na utilização da máquina meramente. Mas, a partir dos problemas trazidos para a sala de aula, que o computador possa ser utilizado como ator na elaboração e comprovação de hipóteses e na simulação de idéias. Só assim é possível aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, fazer cálculos simples ou complexos, fazer análises geométricas planas ou espaciais.

“Quanto mais ativamente uma pessoa participar da aquisição de um conhecimento, mais ela irá integrar e reter aquilo que aprender. Ora, a multimídia interativa, graças à dimensão reticular ou não linear, favorece uma atitude exploratória, ou mesmo lúdica, face ao material a ser assimilado. É portanto, um instrumento bem adaptado a uma pedagogia ativa.” (Lévy, 1993)

Aplicações da Função Exponencial

Exemplo 1: Bactéria

Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de t dias?

Resolução:

milhões de bactérias

Ao fim de 1 dia 1 + 0,5 = 1,5

Ao fim de 2 dias 1,5 + 0,5x1,5 = 1,5(1 + 0,5) = 1,5²

Ao fim de 3 dias 1,5 + 0,5x1,5² = 1,5² (1 + 0,5) = 1,5³

... ...

Ao fim de t dias ................................................................ 1,5^t

Vemos que o número de milhões de bactérias, ao fim de t dias, é dado por uma potência de expoente variável (exponencial).

Sabemos que esta potência tem significado para qualquer valor real de t; no início da contagem é t = 0 e antes desse instante é t <>

Sabemos, também, que os valores de 1,5t são sempre positivos. Portanto, temos a correspondência:

f: lR lR

t 1,5^t

que se chama função exponencial de base 1,5.

Exemplo 2: Juros compostos

A função exponencial intervém em numerosas aplicações matemáticas, na Ciência e na Indústria, e é indispensável no estudo de muitos problemas de Economia e Finanças, nomeadamente no cálculo dos "juros compostos".

Diz-se que há um "juro composto" quando o juro ganho por certo capital, ao fim de um período de tempo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e passando, portanto, a ganhar juro. O investigador, no fim do segundo ano, receberá, portanto, "juro do juro" além do juro do capital.

Por exemplo:

Uma pessoa coloca 3000 contos a prazo, à taxa de 20% ao ano e não levanta dinheiro algum durante 10 anos.

Quanto tem a receber (capital acumulado) ao fim desse período?

E ao fim de x anos?

Resolução:

milhares de contos

Ao fim de 1 ano 3 + 3x0,2 = 3 (1 + 0,2) = 3x1,2

Ao fim de 2 anos 3x1,2 + 3x1,2x0,2 = 3x1,2 (1 + 0,2) = 3x1,2²

Ao fim de 3 anos 3x1,2² + 3x1,2²x0,2 = 3x1,2³

............................................................................................................

Ao fim de 10 anos 3x1,2¹⁰ ≈ 18,575

Ao fim de x anos 3x1,2^x

Obtemos de novo uma função exponencial.